سلام دوست عزیز
تو جمله‌ی here’s a story of a family getting a dog for the first time. کلمه‌ی getting اینجا اسم مصدر یا gerund هستش که البته به استمراری بودن یک عمل هم داره اشاره می‌کنه.
در واقع اینجا برای کوتاه‌تر شدن جمله بخشیش حذف شده،
جمله این بوده:
here’s a story of a family that are getting a dog for the first time.
اینجا قسمت that are حذف شده و فقط کلمه‌ی getting استفاده شده.
داخل تالار مفصل درباره‌ی مصدرهای و همین طور مصدر ING دار یا gerund هم توضیح داده شده که داخل لینک زیر می‌تونید ببینید.
این اتفاق حذف شدن بیشتر تو participle clause ها می‌افته که داخل لینک زیر توضیحش داده شده.