سلام دوست عزیز
تو زبان انگلیسی، زمانی که بخواهیم دو تا فعل رو در کنار هم استفاده کنیم بینشون نیاز به حرف اضافه to داریم و اینجا کلمه‌ی let مصدر infinitive هستش که نیاز به to داره.
این مصدر نشون می‌ده که چه کاری قراره انجام بشه. تو این جمله، فعل “let” (اجازه دادن) به عنوان یک مصدر با “to” اومده و به این معنیه که مادر شما موافقت کرده که به شما اجازه بده کاری رو انجام بدید (مثلاً برید جایی، چیزی بخرید و غیره).
برای اطلاعات بیشتر درباره‌ی مصدر لینک زیر رو ببینید.