سلام دوست عزیز
در جمله‌ی “the moon and the sun began talking about who was stronger”، فعل “talking” به صورت اسم مصدر (gerund) به کار رفته.
فعل “begin” (شروع کردن) جزو افعالیه که می‌تونه با دو نوع ساختار فعلی بعد از خودش بیاد:
مصدر با to (to + فعل ساده): begin to talk
اسم مصدر (فعل + ing): begin talking
در این مورد، هر دو ساختار از نظر گرامری صحیح هستن و معنای نسبتاً یکسانی رو منتقل می‌کنن. تفاوت جزئی در تاکید یا سبک ممکنه وجود داشته باشه، اما در این جمله خاص، انتخاب بین “to talk” و “talking” تفاوت معنایی قابل توجهی ایجاد نمی‌کنه.